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<!DOCTYPE html>

</head>

</header>

</div>

Fast alle (von frühneuhochdeutsch fast als später von sehr abgelöste und älteres schier ersetzende Verstärkung<a href="#cite_note-1">[1]</a>) ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> meist eine <a href="Abk%C3%BCrzung" title="Abkürzung">Abkürzung</a> für alle bis auf endlich viele, meist im Zusammenhang mit <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbaren</a> Grundmengen.

Man sagt, eine Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> werde von fast allen Elementen einer unendlichen <a href="Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> erfüllt, wenn nur endlich viele Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> nicht erfüllen. Teilmengen, die fast alle Elemente einer Menge enthalten, heißen auch koendlich oder kofinit, weil ihr <a href="Komplement_(Mengenlehre)" title="Komplement (Mengenlehre)">Komplement</a> endlich ist.

Es gibt aber auch abweichende Verwendungen des Begriffs, wie unten weiter ausgeführt wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialisierung_auf_Folgen">Spezialisierung auf Folgen</h2></div>

Die Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> trifft auf fast alle Glieder einer <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a> zu, wenn höchstens endlich viele Folgenglieder Gegenbeispiele sind.

Dies lässt sich auch so charakterisieren: Es gibt ein Folgenglied, von dem an die Eigenschaft für alle nachfolgenden Glieder gilt.

Formal: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5a86febdf9e7b0680074671cc10bb1d51a2d290.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.361ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \colon \forall n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})}" loading="lazy">.

Dies darf nicht verwechselt werden mit der Forderung

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} \colon \exists n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})}">

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} \colon \exists n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60261ea8c4fed4bc0948983d1f7cd07db8129ff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.361ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} \colon \exists n>N\colon {\mathcal {E}}(a_{n})}" loading="lazy">, die bedeutet, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> für <a href="Unendliche_Menge" title="Unendliche Menge">unendlich viele</a> Folgenglieder gilt. Dies ist eine echt schwächere Forderung, denn sie schließt nicht aus, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> für unendlich viele Folgenglieder auch nicht gilt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_und_Gegenbeispiele">Beispiele und Gegenbeispiele</h2></div>

<ol><li>Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche Zahlen</a>, denn zu jeder vorgegebenen natürlichen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> kann man eine größere finden, die durch 3 teilbar ist, denn eine der Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N+1,N+2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N+1,N+2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2dfad4eeaada62021872ecc4d1e8eb064b43e21f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.167ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N+1,N+2}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N+3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N+3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66105ec30845dbb6508bf9dcb94c411ad8a733f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.066ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N+3}" loading="lazy"> muss diese Eigenschaft haben. Genauso gibt es aber unendlich viele nicht durch 3 teilbare Zahlen. Der Begriff fast alle greift hier nicht.</li>

<li>Fast alle der durch drei teilbaren positiven Zahlen sind größer als 15 Billionen, denn es gibt endlich viele (nämlich 5 Billionen) durch 3 teilbare Zahlen, die nicht größer als 15 Billionen sind; die unendlich vielen anderen durch drei teilbaren Zahlen sind aber größer als 15 Billionen.</li>

<li>Eine reelle Zahlenfolge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{n}\mid n\in \mathbb {N} )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{n}\mid n\in \mathbb {N} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b6567cb408728e95f84d13d026e4b3184a2535.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.108ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{n}\mid n\in \mathbb {N} )}" loading="lazy">:

<ul><li>hat einen <a href="H%C3%A4ufungspunkt" title="Häufungspunkt">Häufungspunkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">, wenn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> unendlich viele Folgenglieder im offenen Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ]b-\varepsilon ,b+\varepsilon [}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ]b-\varepsilon ,b+\varepsilon [}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f93d1e5d9b944a6adfb00438da56a3e3c912f7e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ]b-\varepsilon ,b+\varepsilon [}" loading="lazy"> liegen. Es können aber auch unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls liegen und es kann sogar weitere Häufungspunkte geben.</li>

<li>hat den <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">Grenzwert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy">, wenn für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> fast alle Folgenglieder im offenen Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ]b-\varepsilon ,b+\varepsilon [}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ]b-\varepsilon ,b+\varepsilon [}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f93d1e5d9b944a6adfb00438da56a3e3c912f7e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.17ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ]b-\varepsilon ,b+\varepsilon [}" loading="lazy"> liegen – also nur endlich viele außerhalb.</li></ul></li>

<li>Es gibt erheblich mehr <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahlen</a> als ganze Zahlen. Dennoch kann man nicht sagen, dass fast alle reellen Zahlen nicht ganz sind, da es ja unendlich viele ganze reelle Zahlen gibt (wenn auch nur <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar</a> viele).</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> eine beliebige <a href="Indexmenge_(Mathematik)" title="Indexmenge (Mathematik)">Indexmenge</a> und hat man zu jedem Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d740fe587228ce31b71c9628e089d1a9b37c6be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.815ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\in I}" loading="lazy"> eine (z. B. reelle) Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy">, so kann man ohne Rückgriff auf einen Konvergenzbegriff die Summe aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> nur sinnvoll definieren, wenn fast alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1d2e283d81c74e9c6742dcbbcad8c622ef0c3c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.29ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{i}=0}" loading="lazy"> sind, nämlich als Summe der endlich vielen von 0 verschiedenen Zahlen.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ein <a href="Mengenfilter" class="mw-redirect" title="Mengenfilter">Mengenfilter</a> auf einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">. Eine Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">-fast überall auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> (oder für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">-fast alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">), wenn die Menge jener <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy">, die die Eigenschaft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}" loading="lazy"> erfüllen, im Filter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> liegt.

Der oben erklärte Begriff fast alle ist genau der Begriff <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">-fast alle für den Spezialfall des aus allen kofiniten Teilmengen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> bestehenden <a href="Fr%C3%A9chet-Filter" title="Fréchet-Filter">Fréchet-Filters</a>.

In der <a href="Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maßtheorie</a> wird oft ein anderer Spezialfall betrachtet; wenn man den Filter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> jener Mengen zugrunde legt, deren Komplement Maß 0 hat, so bedeutet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">-fast alle dasselbe wie <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a> und ist nützlich, weil fast überall nicht auf Elemente von Mengen bezogen werden kann.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zahlentheorie">Zahlentheorie</h2></div>

In der <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a> spricht man auch davon, dass fast alle natürlichen Zahlen in einer Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> sind, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}=1}">

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b32bce4eacb652ed3498bbd88c79763dcad007.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.704ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}=1}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fa563369b75d1fdb0b3eb905a0b698f27b7dda15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.947ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(n)}" loading="lazy"> die Anzahl der Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x<n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x<n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/401c400f79731a9f044ac6bba6207e5f2f9503c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.823ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle x<n}" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Das lässt sich auch mit den <a href="Landau-Symbol" class="mw-redirect" title="Landau-Symbol">Landau-Symbolen</a> ausdrücken: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {A}}(n)\in o(n)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {A}}(n)\in o(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae5c3b72e1ae09f44386b80586d352ba6abfba5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.152ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\bar {A}}(n)\in o(n)}" loading="lazy">, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {A}}(n)=n-A(n)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {A}}(n)=n-A(n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/832d13c61f5671583de3444f73b5b6345633e235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.26ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\bar {A}}(n)=n-A(n)}" loading="lazy">. Außer den natürlichen Zahlen können auch andere unendliche Mengen als Basis gewählt werden. Beispielsweise sind fast alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt und fast alle Primzahlen <a href="Primzahlzwilling#Isolierte_Primzahl" title="Primzahlzwilling">isoliert</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="Friedrich_Kluge" title="Friedrich Kluge">Friedrich Kluge</a>, <a href="Alfred_G%C3%B6tze_(Philologe)" title="Alfred Götze (Philologe)">Alfred Götze</a>: <a href="Etymologisches_W%C3%B6rterbuch_der_deutschen_Sprache" title="Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache">Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache</a>. 20. Auflage. Herausgegeben von <a href="Walther_Mitzka" title="Walther Mitzka">Walther Mitzka</a>. De Gruyter, Berlin / New York 1967; Neudruck („21. unveränderte Auflage“) ebenda 1975, ISBN 3-11-005709-3, S. 186.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Hardy, Wright, An Introduction to the theory of numbers, 4. Auflage, Oxford, Clarendon Press 1975, S. 8

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>